-
Enoncés
Postulats de Pauli sur le spin
- L'opérateur de spin \(\vec S\) est un moment cinétique. Ses \(3\) composantes vérifient les règles de commutations:
$$[S_x,S_y]={{i\hbar S_z}}$$
$$[S_y,S_z]={{i\hbar S_x}}$$
$$[S_z,S_x]={{i\hbar S_y}}$$- Les opérateurs de spin agissent dans un nouvel espace \(\mathcal E_S\) (espace des états de spin) où \(S^2\) et \(S_z\) forment un ECOC.
Cette espace est engendré par l'ensemble des kets propres \(\ket{s,m_s}\) commun à \(S^2\) et \(S_z\)
$$S^2\ket{s,m_s}=s(s+1)\hbar^2\ket{s,m_s}$$
$$S_z\ket{s,m_s}=m_s\hbar\ket{s,m_s}$$
\(s\) est entier ou demi-entier tel que \(-s\leq m_s\leq s\)- L'espace des états d'une particule \(\mathcal E\) est le Produit tensoriel de l'espace de spin \(\mathcal E_s\) et l'espace des moments cinétiques orbitales \(\mathcal E_r\):
$$\mathcal E={{\mathcal E_s\otimes\mathcal E_r}}$$
Toute observable de spin commute avec les observables orbitales.- L'électron est une particule de spin \(\frac 12\) et son moment magnétique de spin est donnée par: \(\vec M_s={{2\frac{\mu_B}{\hbar}\vec S}}\)
Description de particule
Description complète de l'état d'un particule de spin \(\frac 12\)
Dans les Postulats de Pauli, l'espace des états \(\mathcal E\) d'une particule de spin \(\frac 12\) est décrite par les degrés de libertés externes (Moment cinétique orbital) et internes (Spin). L'ECOC qui permet de décrire notre particule dans cette espace est formé des operateurs \(\vec R,S^2, S_z\) tel que:
$$\ket{\vec r,m_s}\equiv \ket{\vec r,s,m_s}\equiv\ket{\vec r,\epsilon}$$
Avec \(\epsilon\equiv '\pm'\).- Le système \(\{\ket{\vec r, \epsilon}\}\) est orthonormé: \(\langle{\vec r',\epsilon'|\vec r,\epsilon}\rangle =\delta_{\epsilon\epsilon'}\delta(\vec r'-\vec r)\)
- La Relation de fermeture devient: \(\sum_\epsilon\int d^3r\ket{\vec r,\epsilon}\bra{\vec r,\epsilon}=1\)
- La description complète de l'état de la particule de spin \(\frac 12\) fait intervenir: \(\Psi_\pm(\vec r)=\langle{\vec r,\pm|\Psi}\rangle \)
